1 PRVN
´
I PROBL
´
EM
1 prvn´ı probl´em
Nalezni souˇcet vˇsech moˇzn´ych hodnot f
2022
2021
, kdyˇz f : Q
+
→ Z je funkce, pro kterou plat´ı
f(x) = f
1
x
;
f(x − 1)
x
=
f(x)
x + 1
Pro vˇsechny racion´aln´ı ˇc´ısla x > 1, kde 0 ≤ f(1) ≤ 100.
Uprav´ıme si vztah
f(x − 1)
x
=
f(x)
x + 1
=⇒ f(x − 1)
x + 1
x
= f(x)
potom
f
2022
2021
= f
2022
2021
− 1
2022
2021
+ 1
2022
2021
= (1)
= f
1
2021
4043
2022
= (2)
= f(2021)
4043
2022
(3)
V´ıme, ˇze 0 ≤ f(1) ≤ 100, potom jestliˇze do rekurzivn´ıho vztahu dosad´ıme maximum dan´e funkce
v bodˇe x, z´ısk´ame maximum stejn´e funkce v bodˇe x + 1, tedy
f(x) =
x + 1
x
f(x − 1)
napˇr´ıklad
f(2) =
3
2
Max(f(1)) = (4)
=
3
2
100 = (5)
= 150 (6)
lze si povˇsimnout urˇcit´eho vztahu
0 ≤ f(1) ≤ 100 (7)
0 ≤ f(2) ≤ 150 (8)
0 ≤ f(3) ≤ 200 (9)
0 ≤ f(4) ≤ 250 (10)
pro
0 ≤ f(n) ≤ (n + 1)50
potom
Max(f(2021)) = 50(2022)
dosad´ıme-li do vztahu
Max
f
2021
2022
=
4043
2022
Max(f(2021)) = 4043 × 50 (11)
= 202150 (12)
1
2 DRUH
´
Y PROBL
´
EM
Funkce f m´a zobrazen´ı f : Q
+
→ Z, potom pro z´ısk´an´ı souˇctu vˇsech hodnot funkce f (x) pro
x =
2022
2021
staˇc´ı seˇc´ıst vˇsechna kladn´a cel´a ˇc´ısla od 1 do 202150,
202151(202150)
2
= 20 432 412 325
2 Druh´y probl´em
Je d´ana nekoneˇcn´a k-rozmˇern´a ˇctvercov´a mˇr´ıˇzka. Obd´eln´ıkem budeme v tomto textu rozumˇet
nadmnoˇzinu ˇctverce, obd´eln´ıku, krychle, kv´adru, atd. V jiˇz zm´ınˇen´e mˇr´ıˇzce se nach´azej´ı n-rozmˇern´a
tˇelesa. Tato tˇelesa jsou obd´eln´ıky. Tato tˇelesa obsahuj´ı vlastn´ı tˇelesa.
Vlastn´ı tˇeleso 1. rozmˇeru je ´useˇcka. Vlastn´ı tˇeleso 2. rozmˇeru je jeden ˇctverec v ˇctvercov´e mˇr´ıˇzce.
Vlastn´ı tˇeleso 3. rozmˇeru je krychle, kter´a je shodn´a s krychl´ı ve ˇctvercov´e mˇr´ıˇzce. Vˇsechna vlastn´ı
tˇelesa maj´ı velikost strany shodnou s velikost´ı strany jednoho ˇctverce v mˇr´ıˇzce. Vlastn´ı tˇeleso 1.
ˇr´adu nen´ı ´useˇcka, kter´a proch´az´ı pˇres nˇejak´y existuj´ıc´ı bod nebo spojuje bod o souˇradnic´ıch (n, k)
s bodem o souˇradnic´ıch (m, p), kde m 6= n, p 6= k. Toto pravidlo plat´ı pro vˇsechny vlastn´ı tˇelesa,
pouze je modifikov´ano pro jejich pˇr´ısluˇsn´y rozmˇer.
Napˇr´ıklad poˇcet vlastn´ıch struktur 2. rozmˇeru na obr´azku tˇelesa s rozmˇery (8, 7) [8 a 7 je poˇcet
bod˚u ve stranˇe dan´eho tˇelesa, jestliˇze odeˇcteme 1 od tˇechto hodnot z´ısk´ame poˇcet stran v dan´e
stranˇe] ˇcin´ı 42, pouze vyn´asob´ıme (8–1)(7–1) = 7(6) = 42.
Figure 1: Tˇeleso se strany 8 a 7
Vytvoˇrte vzorec, pro v´ypoˇcet poˇctu vˇsech vlastn´ıch tˇeles n-t´eho rozmˇeru v tˇelese k-t´eho rozmˇeru,
kdy plat´ı n ≤ k. Urˇci poˇcet 2021 rozmˇern´ych struktur v 2021
2021
2021
.
2
2 DRUH
´
Y PROBL
´
EM
Solution 2.1. Definujeme, ˇze x
i
budeme znaˇcit poˇcet bod˚u ve stranˇe, potom tedy (x
i
− 1) znaˇc´ı
poˇcet vlastn´ıch tˇeles 1. rozmˇeru ve stranˇe pˇr´ısluˇsn´eho tˇelesa.
Chceme-li vypoˇc´ıtat poˇcet vlastn´ıch tˇeles 1. rozmˇeru v tˇelese 2. rozmˇeru, uvˇedom´ıme si, ˇze nejdˇr´ıve
na jedn´e stranˇe spoˇc´ıt´ame poˇcet vlastn´ıch struktur 1. rozmˇeru, toto n´aslednˇe vyn´asob´ıme druhou
stranou tˇelesa poˇctem bod˚u v dan´e stranˇe, jelikoˇz se prvn´ı strana ˇctvereˇck˚u nach´az´ı na kaˇzd´e
hladinˇe pr´avˇe tolikr´at, kolik je bod˚u ve v´yˇsce druh´e strany. Na obr´azku zelen´e vlastn´ı struktury 1.
rozmˇeru znaˇc´ı n´ami zat´ım nezapoˇc´ıtan´e strany a ˇcerven´e jiˇz zapoˇc´ıtan´e. [n reprezentuje kolikr´at
n´asob´ıme stranu s n- 1 vlastn´ımi strukturami 1. rozmˇeru.]
Figure 2: Zp˚usob poˇc´ıt´an´ı
Z obr´azku vypl´yv´a, ˇze staˇc´ı v´yˇse uveden´y proces aplikovat i na druhou stranu. Toto d´ame do
vztahu
x
1
(x
2
–1) + x
2
(x
1
–1)
Jestliˇze bychom poˇc´ıtali poˇcet vlastn´ıch struktur 2. ˇr´adu v tˇelese 3. rozmˇeru, potom bychom museli
dˇelat v´yˇse uveden´y proces 3-kr´at, jelikoˇz m´a kv´adr 6 stran, ale pouze 3 orientace [poˇcet
”
moˇzn´ych“
pohled˚u na tˇeleso].
Figure 3: vˇsechny orientace krychle
Poˇc´ıtali bychom v kv´adru o rozmˇerech x
1
, x
2
, x
3
. poˇcet vlastn´ıch struktur 1. rozmˇeru, potom staˇc´ı
vyn´asobit poˇcet vlastn´ıch struktur 1. rozmˇeru jedn´e strany se zbyl´ymi strany a toto aplikovat na
vˇsechny strany. Z´ıskali bychom vzorec
x
3
x
1
(x
2
–1) + x
3
x
2
(x
1
–1) + x
2
x
1
(x
3
–1)
Tyto pˇr´ıklady m˚uˇzeme vloˇzit do tabulky 1, kde ve sloupc´ıch jsou rozmˇery dan´ych tˇeles a v ˇr´adc´ıch
rozmˇery poˇc´ıtan´ych vlastn´ıch tˇeles. Lze si povˇsimnout, ˇze sˇc´ıt´ame v´yrazy, ve kter´ych n´asob´ıme
3
2 DRUH
´
Y PROBL
´
EM
0 1 2 3.
S(0) 1 x
1
x
2
x
3
S(1) Unneeded (x
1
− 1) (x
1
− 1)x
2
+ (x
2
− 1)x
1
t
S(2) Unneeded Unneeded (x
1
− 1)(x
2
− 1) rozs´ahl´e
S(3) Unneeded Unneeded Unneeded (x
1
− 1)(x
2
− 1)(x
3
− 1)
Table 1: Pozn´amka: t = (x
1
− 1)x
2
x
3
+ (x
2
− 1)x
1
x
3
+ (x
3
− 1)x
1
x
2
strany vyj´adˇren´e vlastn´ımi strukturami 1. rozmˇeru (x
i
–1) pr´avˇe k-kr´at, kde k je rozmˇer pˇr´ısluˇsn´eho
tˇelesa, tyto z´avorky n´aslednˇe n´asob´ıme zbyl´ymi stranami vyj´adˇren´e v poˇctu vlastn´ıch struktur 0.
(x
i
) rozmˇeru ve stranˇe. Toto opakujeme, pr´avˇe tolikr´at kolik existuje takov´ych kombinac´ı mezi
mnoˇzinou (x
i
–1) a x
i
. Jestliˇze budeme oznaˇcovat poˇcet n´asoben´ych stran ve tvaru (x
i
− 1) v
jednom v´yrazu za mnoˇzinu A a poˇcet n´asoben´ych stran ve tvaru x
i
za mnoˇzinu B, potom je poˇcet
kombinac´ı mezi tˇemito mnoˇzinami.
•
|A|
|B|
, kdyˇz|A| ≤ |B|
•
|B|
|A|
, kdyˇz|B| ≤ |A|
Pro formulaci tohoto vzorce vyuˇzijeme notaci element´arn´ıch symetrick´ych polynom˚u, kter´y je defi-
nov´an
e
k
(x
1
, ..., x
n
) =
X
1≤j
1
<j
2
<...<j
k
≤n
k
Y
k=1
x
j
k
V´ıce informac´ı se nach´az´ı na odkazu
• (https://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html)
Jestliˇze funkce S(k, n) znamen´a, ˇze nal´ez´ame poˇcet vlastn´ıch struktur v n-rozmˇeru v k-
rozmˇern´em tˇelese, potom m˚uˇzeme v kontextu element´arn´ıch symetrick´ych funkc´ı zapsat fin´aln´ı
vzorec ve tvaru.
S(k, n) =
X
1≤j
1
<j
2
<...<j
k−n
≤k
k−n
Y
i=1
x
j
i
|n−k|
Y
m=1
(x
j
m
− 1)
4